Automatismos y sistemas de control: abril 2013

Practica de matlab:

Matlab es el nombre abreviado de “Matrix Laboratory”. Matlab es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares, tanto reales como complejos. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones.

Operaciones con números reales:

>> 2+2

ans =

>> 654654656465645+6765767657655352421

ans =

6.7664e+18

Si introducimos la palabra "help" en la ventana de comandos el programa nos imprimira en pantalla una serie de comandos que nos ayudara a resolver el problema que tengamos.

aquí dejo algunas de ellas como ejemplo aunque hay muchas mas:

>> help

HELP topics:

matlab/general - General purpose commands.

matlab/ops - Operators and special characters.

matlab/lang - Programming language constructs.

matlab/elmat - Elementary matrices and matrix manipulation.

matlab/randfun - Random matrices and random streams.

matlab/elfun - Elementary math functions.

matlab/specfun - Specialized math functions.

matlab/matfun - Matrix functions - numerical linear algebra.

matlab/datafun - Data analysis and Fourier transforms.

matlab/polyfun - Interpolation and polynomials.

matlab/funfun - Function functions and ODE solvers.

matlab/sparfun - Sparse matrices.

matlab/scribe - Annotation and Plot Editing.

matlab/graph2d - Two dimensional graphs.

matlab/graph3d - Three dimensional graphs.

Si añadimos a la palabra help por ejemplo rank el programa nos mostrara la ayuda respecto a la palabra que le sigue en este caso de las matrices.

>> help rank

RANK Matrix rank.

RANK(A) provides an estimate of the number of linearly

independent rows or columns of a matrix A.

RANK(A,tol) is the number of singular values of A

that are larger than tol.

RANK(A) uses the default tol = max(size(A)) * eps(norm(A)).

Class support for input A:

float: double, single

Overloaded methods:

gf/rank

rptcp/rank

Reference page in Help browser

doc rank

También puedes declarar variables lo que nos permite trabajar más cómodos y más rápido

>> cos(pi)

ans =

-1

>> a=3

a =

>> b=5

b =

>> a-b

ans =

-2

>> x=a+b

x =

Si la variable utilizada no existe nos saldrá el siguiente mensaje.

>> z

??? Undefined function or variable 'z'.

También hace raíces, en el caso del ejemplo raíz cuadrada de 4:

>> sqrt(4)

ans =

Operaciones con números complejos:

>> z=3+2i

z =

3.0000 + 2.0000i

>> s=5-7i

s =

5.0000 - 7.0000i

>> z+s

ans =

8.0000 - 5.0000i

>> z*s

ans =

29.0000 -11.0000i

Para pasar un número complejo a polar solo hay que sacar su modulo y su ángulo

>> abs(z)

ans =

3.6056

>> angle(z)

ans =

0.5880

>> m=abs(x)

m =

>> alfa=angle(z)

alfa =

0.5880

>> m=abs(z)

m =

3.6056

En caso de que queramos pasar el numero de polar a imaginario se haría de esta forma:

>> x=m*cos(alfa)

x =

>> y=m*sin(alfa)

y =

2.0000

Matrices

Para introducir una matriz solo hay que poner su nombre = y entre [] los números de las filas separados por un espacio y una coma cuando cambiemos de fila.

>> A=[1 2 3;5 -1 -2; 0 0 0 ]

A =

1 2 3

5 -1 -2

0 0 0

>> B=[1 1 1;2 2 2 ;1 -1 2]

B =

1 1 1

2 2 2

1 -1 2

Con esta función el programa nos crea una matriz con números aleatorios.

>> C=rand(3,3)

C =

0.8147 0.9134 0.2785

0.9058 0.6324 0.5469

0.1270 0.0975 0.9575

Transpuesta de una matriz:

>> X=[1 1 5]'

X =

>> A+B

ans =

2 3 4

7 1 0

1 -1 2

>> A-C

ans =

0.1853 1.0866 2.7215

4.0942 -1.6324 -2.5469

-0.1270 -0.0975 -0.9575

>> A

A =

1 2 3

5 -1 -2

0 0 0

>> A*X

ans =

-6

>> A*C

ans =

3.0073 2.4707 4.2448

2.9139 3.7394 -1.0694

0 0 0

>> X*a

ans =

En caso de que la operación entre matrices no este permitida nos saldrá este error:

>> X*A

??? Error using ==> mtimes

Inner matrix dimensions must agree.

Esta función es para obtener el rango de una matriz.

>> rank(A)

ans =

>> rank (2)

ans =

>> rank(B)

ans =

Polinomio caracteristico de la matriz:

>> poly(A)

ans =

1 0 -11 0

Inversa de una matriz:

>> inv(C)

ans =

-1.9958 3.0630 -1.1690

2.8839 -2.6919 0.6987

-0.0291 -0.1320 1.1282

Determinante de una matriz:

>> det(a)

ans =

Este comando nos imprimirá la matriz unidad de orden "n":

>> eye(3)

ans =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Valores propios y vectores propios

>> [val.vec]=eig(A)

val =

vec: [3x1 double]

>> [z,v]=eig(A)

z =

0.6535 -0.4204 0.0493

0.7569 0.9073 -0.8385

0 0 0.5426

v =

3.3166 0 0

0 -3.3166 0

0 0 0

>> expm(A)

ans =

17.9521 8.3009 11.2875

20.7522 9.6513 11.4836

0 0 1.0000

Esta función nos borra todas las variables definidas

>> clear

El comando "syms" nos permite trabajar con las variables como un símbolo

>> syms x y s lambda

>> A=[1 2 3;0 1 0;3 -1 7]

A =

1 2 3

0 1 0

3 -1 7

>> det(A-lambda*eye(3))

ans =

- lambda^3 + 9*lambda^2 - 6*lambda - 2

>> x+y

ans =

x + y

>> x-y

ans =

x - y

>> x*x

ans =

x^2

>> x+x

ans =

2*x

>> x+2*y

ans =

x + 2*y

>> c=det(A-lambda*eye(3))

c =

- lambda^3 + 9*lambda^2 - 6*lambda - 2

>> c=A-lambda*eye(3)

c =

[ 1 - lambda, 2, 3]

[ 0, 1 - lambda, 0]

[ 3, -1, 7 - lambda]

>> det(c)

ans =

- lambda^3 + 9*lambda^2 - 6*lambda - 2

>> p=det(c)

p =

- lambda^3 + 9*lambda^2 - 6*lambda - 2

>> q=poly(A)

q =

1.0000 -9.0000 6.0000 2.0000

Derivadas

>> f=3*x^2

f =

3*x^2

>> diff(f,x)

ans =

6*x

Integrales

Integral indefinida

>> int(f,x)

ans =

x^3

Integral definida

>> int(f,x,-3,5)

ans =

152

>> p=int(f,x,-3,5)

p =

152

Si ponemos double el resultado sera un número real no entero

>> double(p)

ans =

152

Matlab también nos permite hacer gráficos de funciones para ello ponemos la función y los intervalos que queremos que tenga nuestra gráfica y con la función plot(x,y),title('parábola') nos sacara una gráfica de titulo parábola como se muestra en la foto de mas abajo.

>> y=x^2

y =

x^2

>> x=[-2:0.1:2]

x =

Columns 1 through 15

-2.0000 -1.9000 -1.8000 -1.7000 -1.6000 -1.5000 -1.4000 -1.3000 -1.2000 -1.1000 -1.0000 -0.9000 -0.8000 -0.7000 -0.6000

Columns 16 through 30

-0.5000 -0.4000 -0.3000 -0.2000 -0.1000 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000

Columns 31 through 41

1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000

>> y=x.^2

y =

Columns 1 through 15

4.0000 3.6100 3.2400 2.8900 2.5600 2.2500 1.9600 1.6900 1.4400 1.2100 1.0000 0.8100 0.6400 0.4900 0.3600

Columns 16 through 30

0.2500 0.1600 0.0900 0.0400 0.0100 0 0.0100 0.0400 0.0900 0.1600 0.2500 0.3600 0.4900 0.6400 0.8100

Columns 31 through 41

1.0000 1.2100 1.4400 1.6900 1.9600 2.2500 2.5600 2.8900 3.2400 3.6100 4.0000

>> plot(x,y),title('parabola')

Transformada de Laplace:

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

$F_B(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$